Svar:

Ifølge Ordbog over det Danske Sprog, bd. 11, 1929, er substantivet kvarter i alle sine betydninger etymologisk set det samme ord. Det kommer oprindelig fra middelalderlatin quartarium, klassisk latin quartarius, og har grundbetydningen ‘fjerdedelen af et mål’.

Ubestemt form pluralis (flertal) er i dag kvarterer eller kvarter. Ifølge beskrivelsen i Ordbog over det Danske Sprog bruges pluralisformen på -er især i betydningen ‘om afdeling, del, parti (egl. fjerdedelen) af et hele’. Pluralisformen uden endelse bruges – stadig ifølge ordbogen – i rigssprog især ‘om mål der er en fjerdedel af et andet (hoved)mål’ og i betydningen ‘om fjerdedelen af en vis tid, periode: 1/4 time, 15 minutter’. Sammensætninger som frikvarterer nævner Ordbog over det Danske Sprog, bd. 11, 1929, udtrykkelig som undtagelser fra den herskende sprogbrug i betydningen ‘fjerdedelen af en vis tid’.

Du kan læse mere om bøjningen af kvarter i Nyt fra Sprognævnet 1998/1. (http://www.dsn.dk/nyt/nyt-fra-sprognaevnet/1998-1.pdf)